เพื่อนกัน

จำนวนเฉพาะ

จำนวนเฉพาะ

ผู้เขียน :
โกสุม กรีทอง


การหาจำนวนเฉพาะไม่ใช่เรื่องยาก หากจำนวนดังกล่าวยังอยู่ในวงจำนวนไม่เกินสองหลัก เช่น จำนวนเฉพาะห้าจำนวนต่อไปถัดจาก 2 คือ 3, 5, 7, 11 และ 13 ตามลำดับ จำนวนเฉพาะจำนวน ต่อไปถัดจาก 13 คือ 17 จำนวนเฉพาะจำนวนต่อไปถัดจาก 41คือ 43 เป็นต้น อย่างไรก็ดี เมื่อพิจารณาเส้นจำนวนจะเห็นได้ว่า การกระจายของจำนวนเฉพาะบนเส้นจำนวนนั้นไม่มีรูปแบบที่แน่นอน บางทีเราพบจำนวนเฉพาะที่เกาะกลุ่มกัน เช่น 2, 3, 5, 7 แต่บางครั้งเราก็พบจำนวนเฉพาะที่ทิ้งช่วงห่างกัน เช่น 61, 71 นักคณิตศาสตร์ได้พยายามค้นหาวิธีการที่จะได้มาซึ่งข้อสรุปเกี่ยวกับระยะห่างระหว่างจำนวนเฉพาะ p และจำนวนเฉพาะที่อยู่ถัดไปบนเส้นจำนวน

ประมาณปลายเดือนมีนาคม 2546 นี้เอง Dan Goldston จาก San Jose State University and Cem Yalcin Yildrim จาก Bogazici University ประเทศตุรกี ได้นำเสนอบทพิสูจน์อันจะนำไปสู่คำตอบเกี่ยวกับระยะห่างระหว่างจำนวนเฉพาะ และนำไปสู่การพิสูจน์ “Twin Prime Conjecture” ที่กล่าวไว้ว่า Twin Primes หรือ จำนวนเฉพาะคู่ที่มีผลต่างกันอยู่สองนั้นมีจำนวนมากมายไม่มีที่สิ้นสุด นักคณิตศาสตร์ทั้งสองท่านได้นำเสนอผลงานดังกล่าว ณ สถาบันคณิตศาสตร์อเมริกัน (American Institute of Mathematics) การค้นพบดังกล่าวเป็นที่กล่าวขวัญกันอย่างมากในวงการคณิตศาสตร์

หนึ่งเดือนถัดมา Andrew Granville จาก Universite de Montreal และ K. Soundararajan จาก the University of Michigan ได้พบจุดบกพร่องในบทพิสูจน์ของ Goldston และ Yildrim ว่าพจน์ที่กำหนดให้เป็นค่าความคลาดเคลื่อน มีขนาดเดียวกับพจน์หลัก จึงทำให้บทพิสูจน์ดังกล่าวยังไม่ครบถ้วนสมบูรณ์

อย่างไรก็ดี สิ่งที่ Goldston และ Yildrim ได้ค้นพบนั้นทำให้การพิสูจน์ Twin Primes Conjecture เข้าใกล้ความจริงมากขึ้น นักคณิตศาสตร์ทั่วโลกต่างหวังว่าในที่สุด Goldston และYildrim เอง หรือนักคณิตศาสตร์ท่านอื่น ๆ จะสามารถแก้ไขจุดบกพร่องในบทพิสูจน์ดังกล่าว และสามารถพิชิต Twin Primes Conjecture ซึ่งมีอายุกว่าร้อยปีและยังไม่มีใครพิสูจน์ได้เสียที

ถึงเวลาที่จะต้องเปลี่ยนแนวคิดเสียที

การสอนคณิตศาสตร์ : ถึงเวลาที่จะต้องเปลี่ยนแนวคิดเสียที

--------------------------------------------------------------------------------

ขณะที่เรากำลังย่างเข้าสู่ศตวรรษที่ 21 ยังมีผู้คนอีกเป็นจำนวน มากที่ยังมีความกลัวคณิตศาสตร์ เทคโนโลยีสมัยใหม่เช่นเครื่องคิด เลขที่แสดงกราฟได้ โปรแกรมสำหรับคำนวณเชิงสัญลักษณ์ ฯลฯ ก็ไม่ ได้ช่วยแก้ปัญหาให้คนกลุ่มนี้ได้ ไม่ว่าวิธีการจะเปลี่ยนไปอย่างไร ไม่ มีปัญหาสำหรับพวกที่เรียนเก่งในโรงเรียน แต่สำหรับคนส่วนใหญ่แล้วก็ ยังกลัวหรือไม่ไว้ใจวิชานี้อยู่ดี

มีบทความที่ว่าด้วยเรื่อง 'mathephobia' คือโรคกลัวคณิตศาสตร์ อยู่มากมายที่ยืนยันว่า ปัญหาในการให้การศึกษาคณิตศาสตร์ยังมีอยู่ (Maxwell, 1989, Buxton 1981)บางทีอาจถึงเวลาที่ต้องหาวิธีการ ใหม่ ๆ หรือจะต้องมีการปรับหลักสูตรกระมัง

เท่าที่เป็นอยู่ในปัจจุบันนักเรียนไม่มีความรู้สึกใดใดในวิชาคณิตศาสตร์และไม่เห็นคุณค่า กลวิธีการแก้ปัญหาต่างๆ ไม่ได้รับการถกแถลงกันในโรงเรียน หลักสูตรไม่ยืดหยุ่น พอที่จะยอมให้นักเรียนได้ พากเพียรคิด และครูก็ได้แต่แสดงวิธี เพียงวิธีเดียวสำหรับผลเฉลย 1 ข้อ เรายังคงยึดติดอยู่แค่ระดับความชำนาญและการเรียนจากสูตร (แม้ว่าดูจะเป็นเรื่องในอดีต) การคิดอย่างแท้จริงทำแค่ผิวเผิน จะมีสักกี่คนที่เข้าใจอย่างแท้จริง ว่าเหตุใดจำนวนลบคูณจำนวนลบ จึงเป็นจำนวนบวก เข้าใจเพียงแค่เป็นกฎที่ครูบอกให้จำ จะมีสักกี่คนที่เข้าใจพื้นฐานของแคลคูลัสเชิงปริพันธ์ หรือความคิดเกี่ยวกับลิมิตอย่างแท้จริง เป็นการง่ายเกินไปที่ละเลยในรายละเอียดเหล่านี้ แต่ได้ทำให้หลักที่แท้จริงของคณิตศาสตร์สูญเสียไป ผู้เขียนไม่ได้ต้องการที่จะตำหนิครู เพราะผู้เขียนเองก็ผ่านวิธีการเช่นนี้มาถึง 11 ปี หากแต่ผู้ที่มีส่วนเกี่ยวข้องกับการตัดสินใจหรือคณะกรรมการเกี่ยวกับการสอบ ฯลฯ จะต้องให้ความสนใจและพยายามหาจุดหมายที่เราจะต้องไปให้ถึงในอนาคต
มีความงดงามในคณิตศาสตร์ที่จะมองเห็นได้ก็ด้วย ผู้ที่ใฝ่ใจในคณิตศาสตร์เท่านั้น และคนส่วนใหญ่ก็ จะหัวเราะเยาะคำกล่าวนี้ ความงดงามนั้นยากแก่การ ที่จะให้นิยาม แต่สามารถคิดถึงการได้มา ซึ่งความ เป็นระเบียบจากความยุ่งเหยิง หรือได้รับความง่ายจาก ความยากซึ่งสามารถยังให้เกิดขึ้นได้ในวิชาคณิตศาสตร์ ถ้าเราสามารถเปลี่ยนเจตคติของนักเรียนให้มาชื่นชมกับ ความงามได้เมื่อใด เมื่อนั้นเราก็จะอยู่ในภาวะที่น่า พอใจ การพิสูจน์ (ปัจจุบันไม่มีแล้วในสก๊อตแลนด์) เป็นวิธีที่มีประโยชน์มากในการแสดงถึงความงามนี้ เช่น ความเป็นอตรรกยะของแต่ผู้เขียนคิดว่า วิธีสอน 'สมัยใหม่' จะเป็นที่ชื่นชอบของครูเป็นจำนวนมาก ปัจจุบันทฤษฎีบทแฟร์ มาต์ และทฤษฎีสี่สี ได้รับการพิสูจน์ด้วยคอมพิวเตอร์ ในหลายกรณี ซึ่งอาจจะดูว่าเป็นการล้ำสมัย แต่จะมีคนเป็น จำนวนน้อยนิดที่เข้าใจ และผู้เขียนยังสงสัยว่า จะมีใคร สักคนหรือไม่ที่จะยอมรับว่ากรณีต่างๆเหล่านั้นเป็นข้อ พิสูจน์ที่สละสลวย

ด้วยการกำจัดแนวคิดเกี่ยวกับการพิสูจน์ออกไป เราได้สูญเสียความเข้าใจอย่างแท้จริงไปในระดับหนึ่ง เป็นการง่ายเกินไปที่จะกล่าวอย่างสั้นๆว่าสูตรหรือความคิดมาจากไหน โดยไม่ได้แสดงเหตุผลอันควร ผลก็คือนักเรียนก็ยังคงอยู่ในความมืดและยังคงถูกทำให้เชื่อว่าสูตรถูกดึงออกมาจากหมวกนั่นเอง เราสามารถที่กล่าวอย่างจริงใจได้หรือไม่ว่าการศึกษาคณิตศาสตร์ประสบความสำเร็จ ผู้เขียนไม่คิดว่าเป็นเช่นนั้น คณิตศาสตร์บริสุทธิ์เป็นจำนวนมากมีประโยชน์ในการนำไปใช้หลังจากที่ได้เรียนมาแล้วเป็นเวลาหลายปี ฉะนั้นอะไรที่เกี่ยวข้อง ณ เวลานี้จึงดูไม่เกี่ยวข้อง เป็นที่น่าเสียใจว่านักเรียนของเราไม่ค่อยได้รับการปลุกเร้าอย่างดีพอในเรื่องนี้
บางทีผู้คนในชุมชนคณิตศาสตร์อาจไม่ต้อง การปรับเปลี่ยนมากนัก 'ความเห่อทางวิชาการ' มี คำตอบให้เป็นจำนวนมาก ผู้เขียนจบการศึกษาจาก ชั้นเรียนที่มีนักเรียน 13 คน ซึ่งฟังแล้วดูดีกว่าชั้นเรียน ที่มี 130 คน การที่ไม่ให้คนส่วนใหญ่ได้แตะต้องคณิตศาสตร์ ทำให้สถานะของคนส่วนน้อยประสบความสำเร็จเพราะได้เกี่ยวข้องกับคณิตศาสตร์ แท้จริงแล้วชุมชนคณิตศาสตร์ไม่ได้ช่วยตัวเองได้สักเท่าไร อย่างไรก็ดีในฐานะนักคณิตศาสตร์ด้านการศึกษา เราควรพยายามส่งเสริมให้นักเรียนได้ลิ้มลองความคิดใหม่ๆ ได้มองเห็นความงดงามที่มีอยู่ในผลเฉลยอันประณีตนั้น
ผู้เขียนใคร่จะขอให้ผู้ที่กำหนดหลักสูตรเปิดโอกาสให้ได้ใช้วิธีสอนคณิตศาสตร์ด้วยวิธีที่แตกต่างออกไป เพราะเราไม่ต้องการเข้าสู่ศตวรรษที่ 21 ด้วยการเรียนคณิตศาสตร์ที่น่าเบื่อหน่าย ดังที่เป็นอยู่ในหลักสูตรปัจจุบัน เราจะต้องใช้วิธีที่สดชื่นกว่านี้ ซึ่งไม่ใช่ของง่าย แต่มีค่าควรแก่การทำ คณิตศาสตร์ เกิดขึ้นจากคนแล้วเหตุไฉนนักเรียนจึงไม่ค่อยได้ค้นคิด อะไรเกี่ยวกับชีวิตของพวกเขาเลย แน่นอนว่าเวลามีส่วนเกี่ยวข้อง แต่เวลาไม่ใช่คำตอบที่น่าพอใจอีก ต่อไป เราจะต้องมีเวลาที่จะปล่อยให้ความรู้สึกซึมซับ ทางคณิตศาสตร์ได้ค่อยๆพัฒนา ไม่ใช่สัมผัสแต่เพียงผิวเผิน คณิตศาสตร์ไม่จำเป็นต้องมีการนำไปใช้โดยตรง คำประพันธ์ยังเกิดขึ้นเพื่อความสนุกสนานรื่นเริงใจ คณิตศาสตร์ก็ควรจะเป็นเช่นเดียวกันได้ คือเพื่อความสนุกสนานรื่นเริงใจ Bertrand Russell (Russell1, 1917) สรุปด้วยคำกล่าวว่า 'คณิตศาสตร์ ถ้ามองอย่างเป็นธรรมแล้วไม่เกี่ยวข้องเฉพาะความจริง เท่านั้น แต่ยังมีความงดงามอย่างยิ่งด้วย'

ส่วนใหญ่แล้วคณิตศาสตร์ในโรงเรียนไม่ค่อย ได้ใช้ประโยชน์นอกเสียจากเพียงเพื่อให้ผ่านการสอบ และผู้เขียนเชื่อว่าครูเป็นจำนวนมากน่าจะผิดหวัง ถ้าสิ่งนี้เป็นเหตุผลสำคัญสำหรับการเรียนคณิตศาสตร์ ของนักเรียน ฉะนั้นการที่ยินยอมให้นักเรียนได้ ลิ้มลองคุณค่าในเนื้อแท้ซึ่งนักคณิตศาสตร์มีความรู้สึก ว่า สิ่งนี้จะช่วยพวกเขาให้เกิดความเข้าใจในแนวคิดได้ดีขึ้นและช่วยลดความกลัวที่มีอยู่ได้ ถึงแม้ว่าผู้เขียน มิได้ต่อต้านเทคโนโลยีใหม่ๆ แต่ก็ไม่จำเป็นที่เทคโนโลยีเหล่านี้จะต้องเข้าสู่โรงเรียนในระดับชาติโดยสิ้นเชิง ซึ่งถือกันว่าจะช่วยการเรียนของนักเรียน ยังมีเวลาอีกมากในระดับมหาวิทยาลัยที่จะใช้เครื่องจัดการสัญลักษณ์ แต่น่าเสียดายที่มาตรฐานดูเหมือนจะอยู่ในระดับพื้นฐานเท่านั้น ที่ชัดเจนที่สุดคือพื้นฐานทักษะพีชคณิตเบื้องต้น ซึ่งเป็นประโยชน์ในการพิสูจน์ในหลายกรณี

ความกลัวคณิตศาสตร์เกิดขึ้นมาเป็นเวลาหลายทศวรรษแล้ว จงอย่าทำให้คนรุ่นต่อไปในอนาคตเกิดการผิดพลาดในการเรียนคณิตศาสตร์ในทางที่ถูกที่ควรอีกต่อไป คณิตศาสตร์มิใช่เพียงแค่การสร้างองค์ความรู้เท่านั้น แต่เป็นการสร้างเจตคติ และความเชื่อต่างๆด้วย จนกว่าเมื่อไรที่เราจะสามารถ เปลี่ยนความคิดให้เป็นเช่นนี้ได้ คณิตศาสตร์จะเป็นวิชาสำหรับคนหมู่น้อยเท่านั้น

--------------------------------------------------------------------------------
เก็บความจากเรื่อง

Time for a Change ของ N. Grant Macleod
ในวารสาร Mathematics in School ฉบับเดือน March 1998 หน้า 6 - 7